부동소수점 표현과 부동소수점 연산

 

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숫자, 특히 부동소수점과 연산에 대한 내용 정리.

부동소수점

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기본 용어

실수 = Real Number

= 유리수 + 무리수

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유리수 = Rational Number

정수의 비로 표현 가능한 숫자.

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무리수 = Irrational Number

정수비로 나타낼 수 없는 숫자.

Ex) 3.141592653589793..., √2

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부동소수점 표현 bit 구성

최상위 비트(MSB, Most Significant Bit) = 수의 부호(Sign)

지수부(exponent, ) = 2의 거듭제곱을 표시하는 부분

가수부(mantissa, 假數部) = 상용로그의 값에서 0과 같거나 0보다 크고 1보다 작은 소수

예) 십진수 -118.625 를 IEEE 754 표준으로 표현하면

풀이과정

1) -118.625 의 절대값을 2진수로

118.625 = 1110110.101

118을 2진수로 = 1110110

0.625를 2진수로 = 0.101

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2)소수점을 왼쪽으로 이동, 1만 남긴다.

1110110.101 = 1.110110101×2⁶

부동소수점 수를 정규화

= 가수부와 지수부를 분리한다.

(정규화되면 소수점 왼쪽 수는 무조건 항상 1, 신경X 표현X hidden bit라고 부름)

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3)소수점 오른쪽을 23비트가 되도록 0으로 채움

1.110110101×2⁶

=> 1101 1010 1000 0000 0000 000 (가수부)

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4)IEEE 표준에서 32비트의 Bias 는 127

Bias 127 의 2진수는 0111 1111

Bias 127 에 소수점의 지수6(2⁶)을 더한다.

= 133

133을 2진수로 변환하면

= 1000 0101 (지수부 8비트)

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5)부호 1비트, 지수 8비트, 가수 23비트를 합친다.

= ​1_100 0010 1_110 1101 0100 0000 0000 0000

= -118.625

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단정밀도(single precision)

float

실수를 32비트로 처리

부호 1비트, 지수부 8비트, 가수부 23비트

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배정밀도(double precision)

double

실수를 64비트로 처리

부호 1비트, 지수부 11비트, 가수부 52비트

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Float Type

지수부 8비트로 Bias127 제외하고 128비트 큰 숫자까지 담을 수 있지만,

가수부가 23비트 자리수로 제한돼있기 때문에 정밀도는 굉장히 떨어질 수 있다.

16,777,216 까지의 정수부 정밀도를 지원함.

지수부 bit 자리수가 넘쳐 정규화된 hidden bit 1 까지 포함해서 정밀도를 보장하는 최대 수.

또, 가수부 자리를 모두 써버렸기 때문에 16,777,216.1234 처럼 뒤에 붙은 0.1234 역시 할당을 시도해도 메모리에 담아내지 못함.

대신 배정밀도(double precision) 타입을 사용하면, 가수부 비트 수가 더 많기 때문에 정밀도를 보장하는 최대 수가 더 높음.

 

참고 자료

IEEE 754, 부동소수점 표현 표준

IEEE = Institute of Electrical and Electronics Engineers(전기 전자 기술자 협회)

https://ko.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

부동소수점 연산

https://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_arithmetic

실수 자료형의 오차

https://dojang.io/mod/page/view.php?id=738

컴퓨터에서의 실수 표현

https://gsmesie692.tistory.com/94

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

 

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